Zobacz więcej w osobnym artykule: historia matematyki.|
Matematyka edytuj
|
Matematyka (gr. mathēmatik z máthēma – poznanie, umiejętność) – nauka skupiona na rozumowaniu dedukcyjnym, czyli dostarczająca narzędzi do badania wniosków z przyjętych założeń[1]. Ponieważ ścisłe założenia mogą dotyczyć najróżniejszych dziedzin myśli ludzkiej, a muszą być czynione w naukach ścisłych, technice a nawet w naukach humanistycznych, zakres matematyki jest szeroki i stale się powiększa.
Wiele dziedzin nauki i technologii, po uzyskaniu pewnego stopnia dojrzałości, zaczyna definiować swoje pojęcia z dostatecznie dużą precyzją, aby można było stosować do nich metody matematyczne, co często zapoczątkowuje kolejny dział matematyki teoretycznej lub stosowanej. Tak stało się np. z mechaniką klasyczną, mechaniką statystyczną, ekonomią (ekonometria), lingwistyką (lingwistyka matematyczna), teorią gier, a nawet niektórymi działami politologii (teoria głosowań). Leonardo da Vinci stwierdził "Żadne ludzkie badania nie mogą być nazywane prawdziwą nauką, jeśli nie mogą być zademonstrowane matematycznie."[2]
Matematyka teoretyczna (nazywana czasami matematyką czystą) jest często rozwijana bez związku z konkretnymi zastosowaniami. W tej odmianie jest ona przez niektórych matematyków uważana za formę sztuki[3]. Jednak niektóre działy matematyki teoretycznej znalazły swoje praktyczne zastosowanie, kiedy okazało się, że potrzebuje ich nowoczesna fizyka lub informatyka. Szkolne rozumienie matematyki, jako nauki wyłącznie o liczbach i pojęciach geometrycznych, zdezaktualizowało się już w XIX wieku wraz z postępami algebry i teorii mnogości. Matematyka wchłonęła także logikę.
Spis treści |
Matematyka jest sztuką wyciągania wniosków z założeń. Jeśli rozumowanie matematyczne jest poprawne, to przy poprawnych założeniach mamy pewność otrzymania poprawnych wniosków. Jeśli w rozumowaniu jest jakakolwiek nieścisłość, takiej gwarancji nie ma. Stąd wynika olbrzymi nacisk, kładziony w matematyce na ścisłość rozumowania. W utrzymaniu tej ścisłości pomaga omawiany dalej formalizm logiczny oraz zapis matematyczny.
Chociaż najważniejsza w matematyce jest wyobraźnia, głębia, intuicja i zrozumienie, to matematyka nie może sensownie istnieć bez aparatu formalnego. Formalizm, choćby w praktyce tylko przybliżony, jest metodą trwałego, obiektywnego i spolegliwego porozumiewania się matematyków. Można używać do omawiania pojęć matematycznych zwykłego języka naturalnego, jednak ma to sens tylko tak długo, jak długo da się taki opis jednoznacznie przetłumaczyć na formalizm.
Formalna struktura matematyki wygląda następująco:
Na poziomie formalnym zbiór pojęć pierwotnych jest ustalony. Tak jest tylko w teorii. W praktyce wciąż wprowadza się nowe pojęcia. Nawet istnieją formalne mechanizmy, pozwalające je wprowadzać. Matematycy niewiele wiedzą lub niewiele się przejmują formalnym pedantyzmem, i żywą teorię często rozszerzają (czyli tworzą, formalnie mówiąc, nową teorię). Poprawne (w sensie praktycznym) dowody matematyczne są jednak w odczuciu matematyków sprowadzalne do dowodów formalnych. Z czasem jeśli rozwinie się skomputeryzowana formalizacja matematyki, dowody rzeczywiście będą formalne (krok w tym kierunku uczynił Andrzej Trybulec, twórca systemu komputerowego sprawdzającego dowody formalne; patrz Mizar).
Chociaż działalność matematyczna polega na tworzeniu nowych pojęć matematycznych i dowodzeniu twierdzeń na temat pojęć już istniejących, to taka definicja nie oddałaby wszelakich niuansów uprawiania matematyki. Jak stwierdził Gian-Carlo Rota: "Często słyszymy, że matematyka sprowadza się głównie do 'dowodzenia twierdzeń'. Czy praca pisarza sprowadza się głównie do 'pisania zdań'?"[16]
Matematyka składa się z dynamicznej symbiozy dziedzin, działów, poddziałów, czy teorii, które przenikają się, przeplatają, zależą jedne od drugich... Powstają wciąż nowe działy, stare obumierają, a czasem znowu wracają do życia[17]. Matematyka wymyka się klasyfikacji lub zmusza do tworzenia klasyfikacji wciąż na nowo.
Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne prowadzi klasyfikację gałęzi matematyki w których prowadzone są aktywne badania naukowe. Ta klasyfikacja jest uaktualniana co pewien okres czasu aby odzwierciedlić zmiany w zainteresowaniach matematyków, a dzisiaj obowiązująca jej wersja jest określana jako MSC 2000 (Mathematical Subject Classification 2000)[18]. MSC jest używane przez wiele czasopism matematycznych oraz baz danych w rodzaju Mathematical Reviews. Klasyfikacja ta obejmuje następujące główne gałęzie matematyki, z których każda jest dalej dzielona. Łącznie zawiera ona ponad 5000 szczegółowych dziedzin matematyki i dziedzin z matematyką związanych. Każda dziedzina ma przypisany pięcioznakowy kod.
Podstawy matematyki definiują język matematyki, sposoby przeprowadzania dowodów matematycznych, metody budowania jej struktur i teorii, oraz określają własności jej podstawowych obiektów, takich jak zbiór. Zabrakło w tym dziale, w klasyfikacji AMS, teorii kategorii, która występuje w klasyfikacji AMS wyłącznie w dziale algebry; patrz [19].
Algebra to dział matematyki zajmujący się strukturami algebraicznymi, porządkowymi, relacjami i uogólniający rozmaite własności działań wspólne dla różnych obiektów, na których działania są przeprowadzane. Tradycyjnie, teoria zbiorów uporządkowanych była (już u Cantora) działem teorii mnogości; w szczególności monografia Sierpińskiego, Cardinal and ordinal numbers, w połowie o uporządkowaniach (liniowych), należy do teorii mnogości, a nie do algebry, mimo pewnych algebraicznych akcentów.
Analiza matematyczna bada pochodne, całki, miary, sumy szeregów, równania różniczkowe i inne pojęcia związane najogólniej mówiąc z przechodzeniem do granicy.
Geometria zajmowała się kolejno przestrzeniami euklidesowymi, sferycznymi, afinicznymi i rzutowymi, hiperbolicznymi, ogólniej przestrzeniami symetrycznymi i o ujemnej (lub niedodatniej) krzywiźnie, jeszcze ogólniej rozmaitościami Riemanna i wciąż bardziej ogólnymi rozmaitościami. Ponadto geometria, ale także kombinatoryka, zajmuje się geometriami skończonymi, które poniżej skryte są w dziale geometrii dyskretnej, do której zalicza się także inne tematy geometryczne, nie związane z geometriami skończonymi.
Topologia (zwana początkowo "geometrią położenia") w elementarnej wersji jest nauką badającą te właściwości geometryczne, które nie zmieniają się przy przekształceniach takich jak rozciąganie, skręcanie albo obroty. Do własności takich należy na przykład liczba otworów, jakie znajdują się w danej bryle geometrycznej.
Często (choć nie w MSC) wyróżnia się oddzielnie grupę dziedzin, które badają struktury nieciągłe, sprowadzające się do zbiorów przeliczalnych. Do matematyki dyskretnej zalicza się m.in. (wymienione także w odpowiednich miejscach klasyfikacji MSC)
Statystyka zajmuje się wnioskowaniem o całej populacji nieco różniących się obiektów (np. ludzi) na podstawie obserwacji części tej populacji (tzw. próby statystycznej).
Matematyka stosowana jest nauką rozwijającą aparat matematyczny na potrzeby innych nauk i techniki.
MSC wyróżnia także dziedziny, które zajmują się samą matematyką jako przedmiotem swojego zainteresowania.
Zobacz więcej w osobnym artykule: historia matematyki.Wśród zagadnień filozoficznych związanych z matematyką można wyróżnić dwa główne bloki problemowe: blok problemów ontologicznych, tj. zagadnień istnienia, sposobów i kryteriów istnienia i natury bytów matematycznych, oraz korpus zagadnień epistemologicznych, tj. zagadnienia natury poznania matematycznego, granic poznania matematycznego i kryteriów prawdziwości poznania matematycznego.
Początkiem sporu o naturę obiektów matematycznych była platońska koncepcja idei, którym Platon przypisał istnienie realne - stanowisko to stało się początkiem skrajnego realizmu pojęciowego. Przeciw Platonowi wystąpił Arystoteles, którego poglądy stały się początkiem umiarkowanego realizmu pojęciowego. W średniowieczu spór o sposób istnienia pojęć rozgorzał na nowo jako spór o uniwersalia - wykształciło się w nim nowe stanowisko, nominalizm, w ostatnich wiekach epoki dominujące. Wprawdzie filozofia starożytna i średniowieczna zajmowała się sporem o status ontyczny wszelkich pojęć, a nie tylko obiektów matematycznych, niemniej współczesne stanowiska w kwestii bytów matematycznych są zbliżone, a realizm pojęciowy i nominalizm nadal stanowią jedne z głównych stanowisk w filozofii matematyki. Jako samodzielny dział filozofia matematyki rozwinęła się dopiero pod koniec XIX w. dzięki zaistniałemu w tym okresie rozwojowi formalnych metod logiki.
Według realizmu (nazywanego dla odróżnienia od innych stanowisk filozoficznych noszących tę nazwę antynominalizmem) uniwersalia istnieją realnie i niezależnie od egzemplifikujących je rzeczy. W filozofii matematyki analogicznie realiści twierdzą, że obiekty matematyczne to realnie istniejące lub skonstruowane poznawczo przedmioty abstrakcyjne. Realizm skrajny, zwany też platonizmem (w węższym znaczeniu) mówi, że obiekty matematyczne są pozaczasowymi, rzeczywistymi i obiektywnymi bytami, w przeciwieństwie do czasowych, przemijalnych i nie posiadających pełni istnienia przedmiotów zmysłowych i zjawisk. Nowocześniejszą formą realizmu jest konstruktywizm, odpowiednik dawnego konceptualizmu w sporze o uniwersalia, którego formą jest intuicjonizm. Według konstruktywistów obiekty matematyczne konstruuje się za pomocą wykonywalnych w skończonej liczbie kroków, konstrukcji.
Nominalizm, który zarysował się w starożytności na gruncie rozważań na temat logiki Arystotelesa i jego komentatorów, zaczął przybierać dojrzałą postać w XII w. (Abelard, Roscelin), w pełni rozwinął się jednak dopiero w wieku XIV William Ockham. Nominaliści uważają, że pojęcia ogólne nie istnieją samodzielnie, są to tylko czyste nazwy (flatus vocis). Realiści przyjęli liberalne kryterium istnienia bytów matematycznych - obiekt matematyczny istnieje, jeśli nie jest wewnętrznie sprzeczny. Konstruktywiści przyjęli stanowisko rygorystyczne - kryterium istnienia obiektu matematycznego jest istnienie metody jego konstrukcji.
Trzy główne XX-wieczne stanowiska w filozofii matematyki są rozbudowanymi wersjami stanowisk dawniejszych – formalizm jest wersją nominalizmu, intuicjonizm konstruktywizmu, logicyzm skrajnego realizmu pojęciowego.
Według formalistów przedmiotem badań matematycznych nie są obiekty matematyczne, ale teorie dające się wyprowadzić z pewnych założonych zdań logicznych, zwanych aksjomatami. Aksjomaty są zapisywane w pewnym języku, którego niektóre elementy mogą się ludziom kojarzyć z obiektami matematycznymi, matematyka nie wymaga jednak ich istnienia w jakiejkolwiek postaci.
Intuicjoniści głoszą, że cała matematyka może być oparta na pierwotnej intuicji ciągu liczb naturalnych oraz na uznawanej za intuicyjną zasadzie indukcji. Dopuszcza się wyłącznie konstrukcyjne dowody istnienia. Według intuicjonistów aktywność matematyczna umysłu ludzkiego ma charakter twórczy - konstruuje on obiekty matematyczne, nie odkrywa. Niesprzeczność jest dla intuicjonistów warunkiem koniecznym istnienia, ale nie warunkiem wystarczającym - byt matematyczny musi oprócz tego zostać skonstruowany. Intuicjoniści dokonują także reformy metodologii logiki formalnej uznając, że źródłem antynomii w matematyce jest brak oparcia w pierwotnych intuicjach, związany z nieuprawnionym przeniesieniem intuicji o przedmiotach nieskończonych na przedmioty skończone, posługiwaniem się nieostrymi terminami logiki klasycznej (głównie kwantyfikatorami ogólnymi) i przyjmowaną w logice klasycznej zasadą wyłączonego środka. Intuicjonizm w filozofii matematyki wywarł duży wpływ na ogólną problematykę ontologiczną, zwłaszcza filozofię Michaela Dummetta.
Logicyzm głosi, że wszystkie twierdzenia matematyki można posługując się definicjami i regułami logicznymi zredukować do logiki. Głównymi twórcami klasycznych wersji logicyzmu są Gottlob Frege i Bertrand Russell.
Główne stanowiska epistemologiczne w filozofii matematyki odpowiadają głównym kierunkom epistemologii. Empiryzm uznaje zdania matematyki za zdania empiryczne, aprioryzm, powiązany w filozofii matematyki z intuicjonizmem, za zdania analityczne a priori, według konwencjonalistów aksjomaty matematyki mają charakter odgórnie przyjętej konwencji.
Zobacz więcej w osobnym artykule: piękno matematyki.
